Viden

Sådan faktoreres et trinomial

Posted on
Forfatter: Monica Porter
Oprettelsesdato: 16 Marts 2021
Opdateringsdato: 1 Juli 2024
Anonim
Sådan faktoreres et trinomial - Viden
Sådan faktoreres et trinomial - Viden

Indhold

I denne artikel: At lære at faktorisere x2 + bx + Lær at faktorere mere komplicerede trinomier Nogle specielle tilfælde af trinomiale faktoriseringer6 Referencer

Som navnet antyder er et trinomial et matematisk udtryk, der har form af en sum af tre termer. Oftest begynder vi at studere trinomialerne i den anden grad, som således abonnerer: aks + bx + c. Der er flere måder at faktorisere et trinomial af anden grad. Med praksis kommer du der uden besvær. De metoder, vi skal se, gælder ikke trinomialerne i en højere grad (med x eller x). Ved at bearbejde disse sidste trinomier kan man dog falde tilbage på trinomier af anden grad. Vi ser alt dette detaljeret.


etaper

Del 1 Læring af faktorisering x + bx + c



  1. Brug SIDS-metoden. Du ved det måske, men lad os huske, hvad det handler om. Når du f.eks. Skal udvikle et produkt af binomialer - (x + 2) (x + 4) - skal du opsummere produkterne med de forskellige udtryk i rækkefølgen "Først, ekstern, intern, sidst". I detaljer giver dette:
    • formere første vilkår mellem dem:x+2)(x+4) = x + __
    • multiplicere betingelserne ekstern mellem dem: (x2) (x +4) = x + 4x + __
    • multiplicere betingelserne interne mellem dem: (x +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
    • formere sidste udtryk mellem dem: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Afslut med at forenkle: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Forstå, hvad faktorisering er. Når du udvikler produktet fra to par, får du et trinomial af formen: harx +bx +c, a, b og c er reelle tal. Når vi udfører omvendt operation, skal vi gå fra trinomial til binomialprodukt, siger vi, at vi factorises.
    • For klarhedens skyld skal betingelserne for et trinomium rangeres i rækkefølge efter faldende magt. Så hvis vi giver dig: 3x - 10 + x, skal du omskrive for at: x + 3x - 10.
    • Den største eksponent er 2 (x), vi taler om den "anden grad" trinomial.



  3. I begyndelsen af ​​faktoriseringen lægger vi produktformen af ​​binomialer. Skriv: (__ __)(__ __). Vi vil gradvist udfylde de pladser, der er fri såvel som skiltene.
    • For øjeblikket sætter vi ikke noget tegn (+ eller -) mellem de to udtryk for binomialerne.




  4. Du skal starte med at finde de første udtryk for hvert par. Hvis dit trinomiale starter med x, vil de to første udtryk for parene nødvendigvis x og xda x gange x = x.
    • Vores starttrinomiale væsen: x + 3x - 10, og da der ikke er nogen koefficient ved x, kan vi straks skrive:
    • (x __) (x __)
    • Vi vil se senere, hvordan man fortsætter, når x-koefficienten er forskellig fra 1, ligesom 6x eller -x. For øjeblikket står vi tilbage med denne enkle sag.



  5. Prøv at gætte, hvad de sidste udtryk for parene vil være. Gennemgå, hvordan man med PEID-metoden har udviklet de sidste udtryk for binomialerne. Vi skal nu gøre det modsatte. Derefter multiplicerede vi de to sidste termer for at opnå det sidste udtryk ("konstant") af trinomialet. Så du bliver nødt til at finde to numre, der ganget mellem dem vil give dig konstanten af ​​trinomialet.
    • I vores eksempel: x + 3x - 10, konstanten er -10.
    • Hvad er faktorerne for -10? Hvad er de to tal, der ganges mellem dem, vil give dig -10?
    • Her er alle de mulige tilfælde: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 og 2 x -5. Skriv disse kombinationer et sted, så du kan huske det.
    • For tiden forbliver dit binomiale produkt uændret. Han ser altid ud: (x __) (x __).



  6. Test de forskellige kombinationer. Fra konstanten har du formået at identificere nogle kombinationer af faktorer, som man skal arbejde (hvis trinomialet kan reduceres). På dette tidspunkt er der ingen andre løsninger end at teste hver kombination for at se, om en af ​​dem tilfredsstiller trinomialet. For eksempel:
    • I vores eksempel skal summen af ​​produktet "Ekstern" og produktet "Internt" være 3x (hentet fra x + 3x - 1)
    • Tag kombinationen af ​​-1 og 10: (x - 1) (x + 10). Summen af ​​produktet "Ekstern" og produktet "Internt" giver: 10x - x = 9x. Det fungerer ikke!
    • Tag kombinationen 1 og -10: (x + 1) (x - 10). Summen af ​​produktet "Ekstern" og produktet "Internt" giver: -10x + x = -9x. Det går stadig ikke! Du vil bemærke i forbifarten, at denne sidste check var ubrugelig. Faktisk giver parret (-1.10) 9x og paret (1, -10) giver -9x. Så bare test et enkelt par.
    • Tag kombinationen -2 og 5: (x - 2) (x + 5). Summen af ​​produktet "Ekstern" og produktet "Internt" giver: 5x - 2x = 3x. Eureka! Svaret er: (x - 2) (x + 5).
    • Når det gælder trinomer så enkle som denne (starter med x), kan vi gøre kortere. Bare tilføj de to potentielle faktorer, tilføj "x" i slutningen, og du ser med det samme, hvis det er den rigtige kombination. Der gør du: -2 + 5 → 3x. Hvis x er flankeret af en koefficient, fungerer metoden ikke, hvorfor det er godt at huske den detaljerede metode.

Del 2 Læring af faktor mere komplicerede trinomier



  1. Faktor din trinomial til en enklere trinomial. Antag, at du skal faktorisere følgende trinomial: 3x + 9x - 30. Prøv at se, om der ikke er en divisor, der er fælles for alle tre udtryk. Vi tager derefter den største (hvis der er flere), hvorfra navnet "Most Great Common Divisor" (eller PGCD). I vores trinomial vil det være 3. Lad os se dette detaljeret:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Således er 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Derfor er det let at faktorere den anden parentes ifølge metoden beskrevet ovenfor. Vi opnår som følger: (3) (x-2) (x + 5). Vi må ikke glemme 3 sat i faktor.



  2. Nogle gange kan vi ikke faktor reelle tal, men mængder med ukendte. Således kan vi faktor i "x", "y" eller "xy". Her er nogle eksempler:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2y)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Derefter faktoriserer selvfølgelig det nye trinomium, som vi så tidligere. Kontroller, om der ikke er nogen fejl. Øv dig med de øvelser, der er foreslået i slutningen af ​​denne artikel.



  3. Prøv at faktorisere trinomer med en x flankeret af en koefficient. Nogle trinomier af anden grad er vanskeligere at faktorisere, billedet af 3x + 10x + 8. Vi vil se, hvordan vi går videre, så hvad du kan træne med de øvelser, der er foreslået i slutningen af ​​artiklen. Sådan fungerer vi:
    • Spørg parternes produkt: (__ __)(__ __)
    • Hver af de to "Første" termer skal have et "x", og produktet af begge skal være 3x. Der er kun en mulighed: (3x __) (x __), 3 er et primtal.
    • Find faktorerne fra 8. Der er to muligheder: 1 x 8 eller 2 x 4.
    • Tag disse kombinationer for at finde parternes konstanter. Vigtigt punkt: da den ukendte "x" har forskellige koefficienter, er rækkefølgen af ​​kombinationen vigtig. Du skal finde slutningen på midten her, 10x. Her er de forskellige kombinationer:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x nej!
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x nej!
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x nej!
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ja! Dette er den rigtige faktorisering.



  4. I nærvær af en ukendt med en styrke, der er større end 2, kan man skabe en ukendt substitution. En dag bliver du bestemt nødt til at faktorisere et trinomial af den fjerde (x) eller den femte grad (x). Målet er at bringe dette trinomium tilbage til noget, der er kendt, det vil sige et trinomial af anden grad for at faktorisere uden problemer. For eksempel:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Find en ny ukendt, der vil forenkle problemet. Vi vil sætte her, at Y = x. Vi satte en hovedstad Y for at huske, at det er et surrogat. Trinomialet bliver derefter:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): vi faktoriserer som i del 1.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). Det er på tide at erstatte den ukendte substitution med dens sande værdi:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Del 3 Nogle specielle tilfælde af trinomialiseringer



  1. Se efter mulige primtal. Se om konstanten og / eller koefficienten for den første eller tredje sigt ikke ville være primtal. Husk, at et tal siges at være "prime", når det kun kan deles med 1 eller sig selv. Start fra denne definition, hvis vi finder et primtal på de steder, der er angivet ovenfor, kan trinomialet kun faktor i form af et enkelt binomialprodukt.
    • For eksempel i x + 6x + 5, konstanten 5 er et primtal, så binomialproduktet har formen: (__ 5) (__ 1)
    • I 3x + 10x + 8 er koefficienten 3 er et primtal, så produktet af binomialer vil være af formen: (3x __) (x __).
    • Endelig i 3x + 4x + 1, 3 og 1 der er primtal, er den eneste mulige løsning: (3x + 1) (x + 1). Kontroller dog altid kombinationen. Det sker, at nogle trinomer ikke kan tages i betragtning. Således kan 3x + 100x + 1 ikke indregnes (vi siger, at det er "irreducible"). Med 3 og 1 får du aldrig 100.



  2. Man må altid tænke på tilfældet med et trinomial, der ville være udviklingen af ​​en bemærkelsesværdig identitet, et perfekt firkant til kun at tage dette eksempel. Med perfekt firkant mener vi produktet af to perfekt identiske par: (x + 1) (x + 1), som vi skriver (x + 1). Her er nogle af disse perfekte firkanter:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) og x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) og x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) og x - 6x + 9 = (x - 3)
    • En trinomial harx + bx + c er udviklingen af ​​et perfekt torv, hvis har og c er i sig selv positive firkanter (som 1, 4, 9, 16, 25 ...) og hvis b (positiv eller negativ) er lig med 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Se om det er muligt at faktorisere. II er faktisk trinomer, som ikke kan tages i betragtning. Hvis du kæmper for at faktor et trinomial af den anden kanoniske form ax + bx + c, fordi der ikke er nogen åbenlyse rødder, skal du bruge discriminant-metoden (method). Det sidstnævnte beregnes som følger: Δ = √b - 4ac. Hvis Δ <0, kan trinomet ikke indregnes.
    • For trinomer, der ikke er anden grad, skal du bruge Eisenstein-kriteriet forklaret i afsnittet "Tips".