Indhold
- etaper
- At begynde
- Metode 1 Fortsæt med prøve og fejl
- Metode 2 Fortsæt ved nedbrydning
- Metode 3 "Triple-spillet"
- Metode 4 Forskel på to firkanter
- Metode 5 Brug af den kvadratiske formel
- Metode 6 Brug af en lommeregner
Et polynom er sammensat af en variabel (x) hævet til en bestemt magt kaldet graden af polynomet og flere andre udtryk for lavere grader og / eller flere andre konstanter. At faktorisere et polynom af anden grad (også kaldet "kvadratisk ligning") betyder at reducere det oprindelige udtryk til et produkt af udtryk af mindre grader, der derefter kan multipliceres den ene med den anden. Denne viden er en del af gymnasiet og mere, så denne artikel kan være vanskelig at forstå, hvis du endnu ikke har det krævede niveau for matematik.
etaper
At begynde
-
Skriv dit udtryk. Standardformen for en anden grads ligning er:øks + bx + c = 0
Begynd med at arrangere betingelserne i din ligning i henhold til rækkefølgen af kræfterne, fra den største til den mindste, som i standardformen. Tag for eksempel:6 + 6x + 13x = 0
Vi vil omarrangere dette udtryk for at lette arbejdet ved blot at flytte udtrykkene:6x + 13x + 6 = 0. -
Find den fakturerede form ved hjælp af en af de metoder, der er beskrevet nedenfor. Faktoriseringen giver to kortere udtryk, der giver det indledende polynom, hvis vi multiplicerer dem det ene med det andet:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
I dette eksempel er (2x +3) og (3x + 2) faktorer af det oprindelige udtryk, 6x + 13x + 6. -
Tjek dit arbejde! Multiplicer de faktorer, du har identificeret. Kombiner derefter de lignende udtryk, så bliver du færdig. Start med:(2x + 3) (3x + 2)
Lad os begynde at teste dette udtryk ved at multiplicere vilkårene for de to udtryk for at få:6x + 4x + 9x + 6
Derfra kan vi tilføje 4x og 9x, fordi de er udtryk for samme grad. Vi ved så, at vores faktorer er korrekte, fordi vi falder godt på udtrykket af afgang:6x + 13x + 6.
Metode 1 Fortsæt med prøve og fejl
Hvis du har at gøre med et forholdsvis simpelt polynom, skal du være i stand til at finde dets nedbrydning som faktorprodukt med et øjeblik. For eksempel er mange matematikere i stand til at se dette udtryk 4x + 4x + 1 giver faktorer (2x + 1) og (2x + 1) efter vane og med erfaring (selvfølgelig er dette ikke så simpelt i tilfælde af komplekse polynomer). Lad dette eksempel tage et mindre almindeligt udtryk:
.
-
Lav en liste over koefficientfaktorer har og c. Ved hjælp af udtrykket af formularen øks + bx + c = 0, identificer koefficienterne har og c og angiv de tilsvarende faktorer. For: 3x + 2x - 8 giver dette:a = 3 og har kun et par faktorer: 1 * 3 c = -8 og fire par faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 og -1 * 8. -
Skriv to par parenteser på dit stykke papir med plads til at skrive inde i dem. Du indtaster konstanterne for hvert udtryk i det angivne rum:(x) (x). -
Før x skal du skrive et par mulige faktorer for koefficienten har. For koefficienten har i vores eksempel 3x er der kun en mulighed:(3x) (1x). -
Udfyld derefter de to resterende tomme rum med et par faktorer for koefficienten c. Tag for eksempel 8 og 1. Skriv dem ned:(3x8) (X1). -
Bestem nu skiltet (mere eller mindre) for at placere mellem x og det nummer, du har placeret efter ham. I henhold til tegnet på det oprindelige udtryk er det muligt at finde, hvad der skal være konstanternes tegn. opkald h og k konstanterne for vores faktorer:Hvis aks + bx + c, så (x + h) (x + k) Hvis aks - bx - c eller øks + bx - c så (x - h) (x + k) Hvis aks - bx + c, så (x - h) (x - k)
I vores eksempel 3x + 2x - 8 skal skiltene placeres på følgende måde: (x - h) (x + k), hvilket giver os følgende to faktorer:(3x + 8) og (x - 1). -
Kontroller din fakturerede form ved at genudvikle den. En første hurtig test er at kontrollere, om mellemtermen har den rigtige værdi. Hvis x ikke er god, kan du måske have valgt det forkerte par faktorer for koefficienten c. Lad os tjekke vores resultater:(3x + 8) (x - 1)
Ved at gøre en multiplikation får vi:3x - 3x + 8x - 8
Ved at tilføje de lignende udtryk (-3x) og (8x) for at forenkle dette udtryk får vi:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Vi ved nu, at vi sandsynligvis har identificeret de forkerte faktorer:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Udveksle om nødvendigt dit valg af faktorer. I vores eksempel, lad os prøve 2 og 4 i stedet for 1 og 8:(3x + 2) (x - 4)
Nu er vores koefficient c er -8, men multiplikationerne (3x * -4) og (2 * x) giver -12x og 2x, som derudover ikke altid giver den oprindelige værdi af b, det er + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Omvendt omvendt ordren. Vi vender i vores eksempel stedet 2 og 4:(3x + 4) (x - 2)
Nu koefficienten c er altid god, men koefficienterne for udtrykkene i x er denne tid værd -6x og 4x. Når den først er tilføjet, giver dette:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Vi er meget tæt på den oprindelige værdi på 2x, som vi søger at finde, men tegnet er ikke godt. -
Kontroller om nødvendigt skiltene igen. Vi vil nu beholde den samme orden, men vi vil udveksle tegnene:(3x - 4) (x + 2)
Koefficienten før c er altid god, og udtrykkene i x er nu værd (6x) og (-4x). fordi:6x - 4x = 2x 2x = 2x Så vi får de 2x, vi oprindeligt havde. Så vi har sandsynligvis fundet de rigtige faktorer.
Metode 2 Fortsæt ved nedbrydning
Denne metode giver os mulighed for at identificere alle mulige faktorer for at opnå koefficienterne har og c og brug dem til at identificere, hvilke faktorer der er de rigtige. Hvis tallene er meget store, eller de andre prøve- og fejlmetoder synes for lange, kan du bruge denne metode. Tag følgende eksempel:
.
-
Multiplicer koefficienten har ved koefficienten c. I vores eksempel har er lig med 6 og c er også lig med 6.6 * 6 = 36. -
Find koefficienten b ved factoring og derefter afprøve de opnåede faktorer. Vi leder efter to numre, der er faktorer for produktet har * c som vi har identificeret, og hvis sum er værdien af koefficienten "b" (13).4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Præsenter de to numre, du lige har fået i din ligning; placere dem foran x, så deres sum er lig med koefficienten b. Lad os tage bogstaverne k og h at repræsentere de to opnåede tal, 4 og 9:øks + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Faktorér dit polynom ved at gruppere. Organiser ligningen for at finde den største fælles faktor for de to første udtryk og den største fælles faktor for de to sidste udtryk. Du skal derefter få en sum af to identiske fabrikerede former. Sum de to koefficienter sammen, og sæt dem i parentes foran din fakturerede form; får du derefter dine to faktorer:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Metode 3 "Triple-spillet"
Denne metode ligner meget den foregående. Dette består i at undersøge de mulige faktorer for koefficienternes produkter har og c, brug dem derefter til at finde værdien af b. Tag for eksempel følgende ligning:
-
Multiplicer koefficienten har ved koefficienten c. Som med nedbrydningsmetoden vil dette hjælpe os med at identificere potentielle kandidater til koefficienten b. I vores eksempel har er lig med 8 og c er værd 2.8 * 2 = 16. -
Find de to numre, hvis produkt er det nummer, der netop er fundet tidligere (16), og hvis sum giver koefficienten "b". Dette trin er identisk med nedbrydningsmetoden - det vil sige, vi tester og afviser kandidater til konstanter. Produktet af koefficienterne har og c er lig med 16 og koefficienten c er lig med 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Tag disse to numre, og udskift dem i formlen "triple play". Tag de to numre fra det forrige trin - lad os kalde dem h og k - og introducer dem i følgende udtryk:((øks + h) (øks + k)) / a
Derefter får vi:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Find, hvilke af de parentetiske udtryk i tælleren, der kan deles med koefficienten har. I dette eksempel tester vi, om (8x + 8) eller (8x + 2) kan deles med 8. (8x + 8) kan deles med 8, så deler vi dette udtryk med har og lad det andet udtryk være, som det er.(8x + 8) = 8 (x + 1)
Udtrykket, vi holder her, er det, der forbliver efter opdeling af koefficienten har : (x + 1). -
Find - hvis der er - en større fælles faktor i begge parenteser. I vores eksempel har det andet udtryk en større fælles faktor på 2, da 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombiner dette svar med det udtryk, du fandt i det forrige trin. Du har således fundet de to faktorer i dit polynom.2 (x + 1) (4x + 1).
Metode 4 Forskel på to firkanter
Nogle koefficienter for polynomerne kan identificeres som "firkanter", det vil sige produkterne ved multiplikation af to tal. Ved at identificere disse firkanter kan du faktorere nogle polynomer meget hurtigere. Tag for eksempel ligningen:
-
Begynd med at indarbejde alt i en større fælles faktor, hvis det er muligt. I vores eksempel ser vi 27 og 12, som begge kan deles med 3, så vi kan "sprænge" det oprindelige udtryk som følger:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Identificer, om koefficienterne for din ligning er firkantede tal. For at bruge denne metode skal du være i stand til at finde firkantede rødder til dine koefficienter (bemærk, at vi ikke overvejer negative tegn - da vi har kvadrater, kan de være produktet af to positive tal eller negativ)9x = 3x * 3x og 4 = 2 * 2. -
Brug dine firkantede rødder, du har fundet, og skriv dine faktorer. Tag værdierne af har og c tidligere fundet - har = 9 og c = 4 - inden du finder deres firkantede rod - √har = 3 og √c = 2. Dette vil være koefficienterne for vores fakturerede udtryk:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metode 5 Brug af den kvadratiske formel
Hvis alle ovenstående metoder er mislykkedes, og du ikke kan finde de rigtige faktorer til din ligning, skal du bruge den kvadratiske formel. Tag følgende eksempel:
-
Tag værdierne for koefficienterne "a", "b" og "c" og udskift dem i følgende kvadratiske formel:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Vi får derefter udtrykket:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Løs ligningen for at finde x. Som du kan se ovenfor, skal du få to værdier på x:
x = -2 + √ (3) eller x = -2 - √ (3). -
Brug værdien af x for at finde faktorer. Indtast værdierne af x opnået tidligere som konstanter for de to polynomiske udtryk. Disse vil være dine faktorer. opkald h og k værdierne af x, og skriv de to faktorerede former:(x - h) (x - k)
I dette tilfælde er det endelige resultat:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Metode 6 Brug af en lommeregner
Hvis du har tilladelse til at bruge en grafregner, skal du være opmærksom på, at dette i høj grad letter din opgave, især under eksamener. Disse instruktioner er kun gyldige for grafiske regnemaskiner af mærket Texas Instrument. Tag for eksempel følgende ligning:
-
Indtast din ligning i lommeregneren. Du bliver nødt til at bruge "resolver ligning", det vil sige skærmen. -
Lav en grafisk gengivelse af din ligning på lommeregneren. Når du har indtastet ligningen, skal du trykke på - du skal derefter se den grafiske repræsentation af kurven vises (mere præcist får du en "bue", fordi du arbejder med polynomer). -
Find buerens skæringspunkter med x-aksen (x). Da polynomiske ligninger traditionelt er skrevet i formen: aks + bx + c = 0, er dette de to værdier af x, som udtrykket er lig med nul:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Hvis du ikke kan læse værdierne for, hvor din kurve krydser x-aksen, skal du trykke på derefter. Tryk på eller vælg "nul". Flyt markøren til venstre for et af krydset, og tryk på. Flyt derefter markøren til højre for dette kryds og tryk igen. Derefter flyttes markøren så tæt som muligt på krydset og tryk igen. Lommeregneren finder værdien af x. Gør det samme ved det andet kryds.
-
Til sidst introducerer de x værdier opnået i det forrige trin i et to-faktor udtryk. Hvis vi ringer h og k vores to værdier af x, bruger vi derefter følgende udtryk:(x - h) (x - k) = 0
Og så får vi følgende to faktorer:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- En blyant
- papir
- En anden grads ligning (eller kvadratisk ligning)
- En grafregner (valgfri)